La falacia de la proporción áurea en fotografía
Vamos a intentar desmontar muchas de las tonterías, mitos y leyendas sobre la proporción áurea y el número dorado en el Arte en general y en fotografía en particular.
En este artículo no voy a hablar mucho de composición.
Todo lo que vimos en el artículo sobre la proporción de los tercios y sobre la posición con respecto al centro del encuadre se puede aplicar igualmente a cualquier otra proporción que imaginemos, incluyendo la proporción áurea.
Voy a hablar sobre todo de falacias, mitos y pseudociencia.
- La falacia de la proporción áurea
- El origen histórico de la falacia
- La proporción áurea - matemáticas
- El número φ en la naturaleza
- Verdades y mitos del número dorado en la naturaleza
- Verdades y mitos de la proporción áurea en el arte
- Mitos relacionados con el rectángulo dorado
- Mitos sobre la espiral dorada en el arte
- Bibliografía y referencias
La falacia de la proporción áurea
La asociación de ideas entre la proporción áurea y el concepto de belleza tiene su origen en el siglo XV.
La falacia se construye así:
- Se parte de un concepto matemático (una proporción, un número) con una serie de características matemáticas curiosas.
- La proporción se conocía, como otras muchas, al menos desde la antigua Grecia.
- En un contexto histórico concreto del Renacimiento, Luca Pacioli (fraile, teólogo y matemático del siglo XV) queda maravillado con las propiedades matemáticas de la proporción áurea y propone que tiene que haber una conexión directa con Dios.
- Como es un concepto geométrico (las matemáticas de la época estaban muy basadas en la geometría) y está conectado con Dios, eso quiere decir que tiene que representar de alguna forma la belleza o la armonía de lo geométrico. Es una proporción privilegiada que contiene una belleza intrínseca.
Una falacia lógica es una argumentación que parece válida, pero en la que alguno de sus argumentos es falso o no está probado o no tiene relación alguna con la argumentación en sí.
No es difícil darse cuenta de las piruetas (es decir, las fallas lógicas) que nos llevan desde el concepto matemático a algo tan subjetivo y complejo como la belleza, utilizando como nexo de unión el carácter divino del número áureo.
Pero hay que entender el contexto histórico en el que vivió Pacioli, el hecho de que era matemático y teólogo, la mentalidad de la época…
La falacia moderna: la firma del Creador
Si al argumento de la proporción áurea y la belleza le quitamos la conexión divina… se nos cae el argumento.
La falacia original ha ido mutando para adaptarse.
Cuando resucita a finales del siglo XIX se arropa con otra falacia: ‘la proporción áurea aparece en las grandes obras de la Grecia antigua, la proporción áurea forma parte de las grandes obras de la pintura y la arquitectura…’
Ahora tenemos una falacia sobre una falacia… y todos sabemos que no hay dos sin tres, así que nace la versión moderna:
- Se encuentra la proporción áurea en algunos procesos naturales.
- Se descartan los otros millones de procesos naturales donde no aparece (sesgo de confirmación) y se afirma que el número áureo forma parte de la naturaleza en sí, forma parte de la estructura del Universo: es la firma de un Creador.
- Si está conectado con un Creador y está conectado con la naturaleza (belleza natural), eso querrá decir que si llevamos esa proporción al arte estaremos reflejando esa conexión divina, esa armonía y belleza natural.
- La proporción áurea y el número dorado (y por ende el rectángulo dorado y la espiral dorada) tienen por tanto una belleza intrínseca que podemos utilizar en nuestras composiciones artísticas, que serán a su vez más bellas, tendrán más armonía y/o cualquier otra cualidad subjetiva (positiva) similar.
En lo que respecta al mundo del arte, la falacia en sí no ha cambiado mucho desde el siglo XV, simplemente se ha sustituido la envoltura religiosa por una envoltura pseudocientífica, más acorde con la mentalidad actual.
Causa y efecto
Es muy fácil perderse entre toda esta maraña.
Déjame que plantee una línea temporal alternativa…
Imagina que en la época renacentista se hubiera constatado que a la mayoría de las personas les gustaban especialmente las obras que contenían una cierta proporción.
Gente inteligente como Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Durero… quizás se hubieran puesto a investigar, hasta llegar a la conclusión de que esa proporción parecía ser la proporción áurea.
Y luego hubieran llegado las hipótesis para explicar ese hecho: es una proporción que aporta belleza por tal o por cual razón.
Es decir, a partir de un efecto (a la gente le gustan las obras que incluyen la proporción fulanita) se busca su causa y se plantean hipótesis.
Pero la historia real no es así. Es todo lo contrario.
Se inventa una causa: la proporción áurea está conectada con Dios.
Se inventa un efecto: la proporción áurea tiene que ser la más bella.
Se inventan relatos para sostener la falacia: utilizada por los antiguos griegos, forma parte de la Naturaleza, la firma de un Creador…
Te animo a que investigues un poco sobre percepción visual humana y la complejidad de algo tan sutil como el concepto de belleza o armonía.
Cuando miras este tipo de falacias desde la perspectiva de la percepción visual…
No sé, se ven tan burdas que dan un poco de pena.
Ciencia, pseudociencia y arte
Hay que entender que en esta historia se mezclan varias cosas.
Por un lado está la parte científica: la proporción áurea, por sus características geométricas y las propiedades matemáticas del número áureo asociado, aparece en algunos procesos naturales de forma directa o indirecta.
Esa parte científica es fascinante. No hace falta adornarla con bulos y mitos.
Por otro lado está la parte pseudocientífica: como aparece en la naturaleza, la proporción áurea es la firma de un Creador (o la firma del Universo, o cualquier otra etiqueta similar).
Aquí asoma la patita el mundo magufo. Todo vale para justificar este argumento. Partiendo de verdades científicas: se manipulan datos, se manipulan las conclusiones…
Todo para vender que la proporción áurea es ’especial’, mágica de alguna forma, pero en el sentido de pensamiento mágico rozando lo científico.
Esta parte pseudocientífica no tiene nada que ver en principio con el mundo del arte. Es independiente.
Y por otro lado está la falacia de la belleza / armonía de la proporción áurea.
Esta falacia hace uso de todo lo que pilla a su alrededor para sobrevivir: la conexión con Dios, la conexión con un Creador, la conexión con la Naturaleza, la conexión con el Universo, la Grecia clásica, las grandes obras del Arte…
Es exactamente la misma falacia del siglo XV, pero cada uno puede elegir ahora una justificación a la carta.
Alimentar una falacia
Las falacias, las leyendas y los mitos tienen que ser alimentados para que puedan sobrevivir a lo largo del tiempo.
Los seres humanos somos vagos por naturaleza.
Con tal de no gastar energías pensando, investigando o aprendiendo somos capaces de aceptar casi cualquier cosa.
Somos carne de cañón para todo tipo de bulos, sobre todo cuando están bien elaborados.
No hay que sentirse mal por ello. Los sesgos y prejuicios son mecanismos muy valiosos que nos han permitido sobrevivir como especie.
Afortunadamente no somos idiotas todo el tiempo, tenemos nuestros momentos.
Los mitos sólo viven si hay gente detrás dispuesta a mantenerlos (de forma premeditada o no).
Eso implica recrear y mantener un relato plausible que se vaya adaptando a los tiempos.
En otras épocas era la religión la que ofrecía un envoltorio que lo cubría todo.
En la actualidad, el envoltorio que mejor funciona es el de la ciencia.
Algo que parece estar apoyado por la ‘Ciencia’ tendrá mucha más credibilidad, aunque sea más falso que una moneda de corcho.
En las películas modernas de vampiros o de superhéroes se intentan justificar los poderes mágicos con pseudociencia: la radiación afectó a su ADN, el veneno de una araña cambió la estructura molecular, las propiedades cuánticas de nosequé, el espacio-tiempo transformó su cuerpo al atravesar el agujero de gusano…
Palabros científicos para dar una base de credibilidad a algo que sigue siendo magia.
Es lo que hacen las pseudociencias: elaborar un relato convincente que incluya verdades, verdades cocinadas, medias verdades y mentiras.
Presentado todo con un lenguaje que se asemeja mucho al lenguaje científico.
Imagina que te dicen: cuando tomes café, tienes que añadir una cantidad de azúcar que esté en proporción áurea, porque así conseguirás un sabor con la armonía perfecta.
¿Por qué? ¿Qué tiene que ver la proporción áurea con mis gustos personales sobre el café?…
Muy sencillo: porque un estudio de la Universidad de Wisconsin en el que participa la NASA dice que las papilas gustativas siguen una distribución de Fibonacci, que conecta con la forma espiral de la cóclea de tu oído. Esa resonancia de energía activa ciertas neuronas de tu cerebro, que aumentan la sensación placentera al saborear el café.
Dejando a un lado la parodia: todos, absolutamente todos, somos víctimas potenciales de las pseudociencias. Algunas tienen relatos muy muy elaborados y convincentes.
Y desmontar un relato pseudocientífico implica mucho esfuerzo: verificar datos, verificar fuentes, revisar los argumentos, conclusiones, etc.
Cómo fabricar un bulo creíble
Es muy fácil construir un bulo pseudocientífico.
Aquí va la receta:
Hay que partir de un concepto científico o matemático curioso que nos sirva de base (anclas o cimientos) para construir el relato mágico que nos interese.
Si puedes conectar matemáticas, física y la Grecia antigua o algo como ‘conocimiento milenario’ o ‘el secreto que conocían los antiguos…[griegos | romanos | babilonios | egipcios | mayas]’… tienes ya un punto de partida muy bueno.
El relato tiene que incluir efectos sorprendentes e inesperados (conexión entre seres vivos y matemáticas por ejemplo, paradojas, etc.)
Tienes que incluir términos rimbombantes: proporción divina, el número de Dios, sección áurea, número dorado, espiral dorada…
Si puedes añadir alguna referencia a pirámides o algo de la Atlántida y te va a quedar niquelado.
Y lo vas a bordar si dejas caer la palabra cuántica en algún sitio.
Puedes usar también el término ’energía’, pero ya está muy manoseado por la magufería.
Los datos y las pruebas se manipulan para que encajen con la hipótesis.
Hay que intentar bombardear con datos: el Partenón, la pirámide de fulanito, las pirámides mayas, el índice bursátil, la distancia al ombligo, el tamaño de los huesos de los dedos, la proporción de las galletas Oreo, los segmentos del cuerpo de las hormigas macho africanas, las proporciones de las tarjetas de crédito, las conchas de los moluscos, el logo de Apple… (algunos forman parte del imaginario del número áureo, otros me los estoy inventando sobre la marcha)
Es decir, hay que generar la sensación de que la hipótesis está avalada por cientos de experimentos y está confirmada por los hechos: es imposible que no sea cierta.
Se hace cherry picking, eligiendo sólo las pruebas que favorecen la hipótesis. Las demás se descartan y no se mencionan.
Y en cualquier caso se recurre al Teorema del Punto Gordo: por ejemplo, todo lo que se parezca a 1.6 es el número áureo, aunque no tenga nada que ver.
Que sale 1.5 … no hay problema, también es el número áureo (el teorema del Punto Gordo lo aguanta todo).
Puedes incluir alguna referencia del tipo ’la Ciencia asegura que…’, ’estudios científicos han llegado a la conclusión que…’, para añadir a la receta un poco de sesgo de autoridad.
La NASA es un comodín perfecto. Pero ten en cuenta que si metes a la NASA vas a perder el apoyo de un montón de conspiranoicos.
Te puedes inventar a un científico: el profesor Smitcht de la Universidad de Oregon… pero sería jugar con fuego porque a alguien se le puede ocurrir investigar su biografía.
El relato tiene que ser lo suficientemente ambiguo para que no se pueda probar de forma concluyente, ni se pueda desmentir de forma concluyente.
Hay que dejar un margen para la interpretación subjetiva.
Por ejemplo, ¿de dónde a dónde mides exactamente? ¿con qué precisión?.
Si te mides la distancia al ombligo y no te salen los resultados esperados es tu problema por no medir bien o por medir demasiado bien sin aplicar el teorema del punto gordo (yo por ejemplo soy un ser deforme, parece que la proporción áurea no habita en mí).
Y por supuesto, hay que incluir conceptos subjetivos: belleza, equilibrio, armonía… que no se pueden medir, y que además condicionan al incauto al que queremos vender el relato.
Cuanto más simplón es el relato (explicación sencilla, aunque sea mágica, a un fenómeno complejo), más adeptos e incautos conseguiremos.
Porque nadie se va a molestar en comprobar esas pruebas y esos números. Es aburrido. Y a veces muy complicado si no eres experto en el campo.
Es más fácil asimilar el relato mágico aluciante y simplón, que nos da una respuesta cerrada y nos evita investigar un poco y pensar.
Una vez integrados en la cultura popular, ese tipo de bulos son muy difíciles de combatir.
Cánones, normas, reglas y moda
Es muy importante entender que en el mundo del arte hay cánones.
Los cánones son normas o reglas que hacen referencia a lo que se considera ‘bello’ o ‘armonioso’ en un determinado contexto cultural o histórico.
Estas normas son totalmente arbitrarias, evolucionan y dependen de las modas.
Los cánones occidentales son diferentes a los de otras culturas. Los cánones del siglo XV son diferentes a los del siglo XXI.
Los gustos de las personas se ven influidos por los cánones.
Si un diseñador de moda decide que los pantalones tienen que tener campana y esa tendencia cuaja, se establece un canon de belleza. Para estar guapo/guapa hay que vestir un pantalón de campana.
Para que un canon aparezca y perdure hace falta una masa crítica. Los cánones también se ven influidos por los gustos de las personas que consumen ese arte o esos contenidos.
Como los cánones son en gran parte arbitrarios y reflejos de una determinada moda o forma de pensar, no tiene mucho sentido verlos como normas absolutas o universales.
La percepción humana, los gustos y el concepto de belleza son tan complejos y variables que no pueden encajar en un sistema basado en reglas absolutas.
No estoy diciendo que los cánones, las normas y las reglas en el mundo del arte sean algo malo o negativo.
Son una especie de contrato entre autores y espectadores, para establecer lenguajes comunes.
El problema viene cuando esos cánones se entienen como verdades absolutas, universales.
Y la cosa empeora cuando se les asignan propiedades mágicas o místicas a posteriori (el poder de crear belleza) para justificar su propia existencia.
Facultades y escuelas de arte
La falacia de la proporción áurea se sigue transmitiendo en muchas facultades y escuelas relacionadas con las artes y el diseño gráfico.
No es que la proporción áurea se presente como un recurso artístico más, o como una curiosidad histórica, o como una regla arbitraria (canon artístico o cultural)…
En algunos casos se enseña y se presenta como una proporción privilegiada, con cualidades estéticas ‘mágicas’.
Para un alumno es muy difícil superar el sesgo de autoridad.
Si un profesor te habla, convencido y de forma convincente, de las propiedades de la proporción áurea en una obra artística (asociadas a belleza, armonía)… quizás no te crees todo, pero como mínimo te queda un poso de duda.
Para entenderlo bien, imagina que en una asignatura de Meteorología el profesor dijera que las civilizaciones antiguas utilizaban la danza de la lluvia para provocar lluvia a voluntad.
Y a continuación comenzara a justificar ese fenómeno con pseudociencia: sí, porque las ondas de presión de las voces humanas y los instrumentos de percusión interaccionan con la ’energía’ cuántica de Gaia y provoca la aparición de nimbostratos con alta probabilidad de lluvia. La danza de la lluvia sigue siendo una herramienta imprescindible para el meteorólogo moderno.
Sería algo impensable, ¿no?
Sin embargo, la idea de proporción áurea como proporción privilegiada, asociada a la belleza, está muy asentada en el entorno de las artes y el diseño gráfico.
El origen histórico de la falacia
Ya lo hemos esbozado, pero voy a desarrollarlo un poco más.
La proporción áurea se conocía desde la antigüedad. Al menos desde la Grecia antigua, probablemente antes.
Para los griegos, la geometría se asociaba a la perfección.
Muchos de los cánones de ‘belleza’ y armonía de la cultura occidental nacieron en la antigua Grecia.
Si algo era bello o fascinante en el mundo de las matemáticas y la geometría, en el contexto de la mentalidad griega parecía lógico pensar que fuera también bello en el arte: escultura, arquitectura, música…
Incluso el cuerpo humano se intentaba idealizar con medidas y proporciones geométricas.
Los griegos también tenían cierto respeto a los números irracionales, porque no se podían describir como razones de números enteros (racionales).
Los números irracionales se salían de ese criterio de simplicidad y belleza, pero a la vez eran extraños, mágicos en cierta forma.
Por otra parte, los griegos utilizaban muchas proporciones diferentes en sus obras y construcciones.
La proporción áurea era, si acaso, una más.
No tengo información estadística sobre las obras griegas que realmente utilizan la proporción áurea de una forma clara y explícita. No sabría decir si realmente era una proporción tan usada.
El origen del misticismo religioso (moderno) de la proporción áurea comienza con Luca Pacioli , fraile matemático y teólogo del siglo XV, contemporáneo y conocido de Leonardo da Vinci.
Cuando Pacioli descubrió las propiedades matemáticas de la proporción áurea y el número φ, probablemente tuvo una epifanía.
Y no es de extrañar.
Nos tenemos que poner en su contexto: si eres matemático y teólogo (estudió Teología en Roma), en una época en la que se intentaban encontrar justificaciones ’lógicas’ a conceptos religiosos, resulta muy natural establecer conexiones entre las matemáticas (geometría en esa época) y el más allá.
Esto ha sucedido muchísimas veces a lo largo de la historia.
Luca Pacioli escribe, a finales del siglo XV, De Divina Proporcione, un tratado sobre proporciones, geometría, perspectiva, etc.
Luca Pacioli conocía y trabajaba en esa época con Leonardo da Vinci, al que encargó algunas de las ilustraciones del libro.
Es posible que Leonardo da Vinci utilizara la proporción áurea ocasionalmente para estructurar algunas de sus obras o detalles de las mismas (p.e. en La última cena, con un poco de imaginación se pueden encontrar estos patrones, más bien en detalles secundarios del cuadro).
En el caso de obras clásicas no tenemos al autor con nosotros para que nos hable del proceso artístico y de si realmente utilizó la proporción áurea y por qué motivo.
Alberto Durero , contemporáneo de Pacioli y da Vinci, y el artista más conocido del Renacimiento alemán, escribió numerosos tratados sobre geometría.
A partir del rectángulo dorado y su replicación ‘fractal’, Durero construyó lo que se conoce como la espiral de Durero, una aproximación con regla y compás a la espiral áurea o espiral dorada (espiral logarítmica dorada).
También se la conoce como espiral de Fibonacci, porque se puede construir a partir de la secuencia de Fibonacci (agregando rectángulos dorados desde el centro).
El nombre actual, proporción áurea / número dorado, aparece por primera vez en 1835, en un libro de Martin Ohm (el hermano de Georg Ohm, el de la Ley de Ohm de electricidad)
Por algún motivo, en esa época (mediados del siglo XIX) se vuelve a poner de moda el aspecto místico de la proporción áurea y su cualidad estética, y se intenta buscar la proporción en todo tipo de monumentos antiguos (griegos sobre todo)
Por ejemplo Mark Barr (matemático de finales del siglo XIX) establece el símbolo que conocemos en la actualidad (phi) en honor del escultor griego Fidias.
Y ya en el siglo XX, Matila Ghyka , obsesionado con el número áureo, fue un gran impulsor de la mitología reciente sobre esta proporción a mediados de siglo.
Dalí y Le Corbusier jugaron con esas ideas de Ghyka y la proporción áurea en algunas de sus obras.
Las propiedades matemáticas y geométricas de la proporción áurea no cambian. Muchas de ellas se conocen desde hace milenios. No hay nada mágico ni esotérico.
Los mitos y el pensamiento mágico relacionados con el número dorado dentro del arte (y del imaginario colectivo) han ido surgiendo, desapareciendo y resurgiendo en diferentes momentos de la historia, reinventándose y adaptándose al contexto de cada época.
Del argumento religioso en época de Pacioli o Durero, se pasó a un argumento histórico en el siglo XIX, y se reconvirtió en un argumento más pseudocientífico desde mediados del siglo XX.
Una cosa graciosa…
A finales del siglo XX resurgió (otra vez, pero con más fuerza si cabe) el relato mítico pseudocientífico del número áureo, sobre todo en las comunidades de diseño gráfico y fotografía.
Estoy bastante convencido (pero no deja de ser una opinión personal) de que en este boom del último cuarto del siglo XX tuvo mucho que ver el corto de Walt Disney de 1959, Donald in Mathmagic Land.
En ese corto aparecen muchos de esos ‘bulos’, mitos y medias verdades relacionadas con φ, y ese tufillo de pensamiento mágico (a ver, es un corto para niños, son dibujos animados, y el título habla de Mathmagic Land, tiene todo el sentido en ese contexto)
Donald in Mathmagic Land se veía (como parte del contenido educativo) en prácticamente todas las escuelas de Estados Unidos en los años 60-70. En una época en la que había muy poco contenido multimedia ’educativo’ de ese estilo, con lo que pudo tener bastante influencia (sobre niños que décadas más tarde estudiarían y enseñarían diseño gráfico, fotografía, etc.)… Ahí te dejo mi teoría conspiranoica, sin pruebas ni nada :)
Pero eso no es nada comparado con lo que vendría poco después…
A finales del siglo XX, con la llegada masiva de internet y la web, los bulos y los mitos (de todos los tipos y colores) encuentran su canal de transmisión ideal.
Y los mitos relacionados con el número áureo no son una excepción.
La proporción áurea en matemáticas
Sé que la parte matemática no puede competir con un relato épico sobre alienígenas ancestrales y la firma del creador de universos. Pero bueno, también tiene su encanto.
Voy a hablar primero sobre el número áureo o número dorado, φ (phi, leído ‘fi’)
Para toda la parte matemática tienes muchísima información en internet, información contrastada y rigurosa.
Una proporción es una relación entre dos (o más) cantidades.
Por ejemplo, si tenemos dos cantidades, a y b, podemos ver qué relación tienen entre sí o qué relación tiene cada una de ellas con respecto al total (a + b)
Cambiando las cantidades relativas de a y b tendremos infinitas proporciones posibles.
La proporción áurea es aquella que cumple una condición específica: que la razón entre a y b sea igual a la razón entre una de esas cantidades y el total (a + b)
Al valor de esa relación, a esa proporción, le llamamos φ.
Los griegos conocían esta proporción a partir de la geometría (aparece de forma ’natural’ en el pentágono regular por ejemplo), pero nosotros podemos resolverlo de una forma analítica.
Sólo con ver la ecuación, al quitar denominadores ya vemos que van a quedar cosas al cuadradro.
Para resolverla, como tenemos dos variables y una única ecuación, podemos partir de algún valor inicial, por ejemplo podríamos asignar un valor para a, para b, o para el total. No es la estrategia más elegante (más abajo vemos otro camino) pero creo que es intuitiva.
Vamos a elegir por ejemplo que el total sea 1 por simplicidad: a + b = 1 (lo puedes hacer con el valor que quieras, le puedes dar un valor directamente a una de las variables)
Y si operamos un poco, nos quedará una ecuación de segundo grado:
Resolvemos la ecuación y nos da el valor 0.618··· para a.
Elegimos el valor positivo, porque en este caso estamos suponiendo cantidades físicas (litros, metros, lo que sea… ), pero matemáticamente las dos soluciones son perfectamente válidas.
Ese número (0.618···) es la versión ‘corta’ de φ, o dicho de otra forma, 1/φ.
Nos aparece directamente 1/φ porque hemos elegido que a + b = 1. Si has elegido otro valor inicial te aparecerá un número diferente, porque nos falta un paso más…
A partir de la definición de φ, nos faltaría calcular la relación:
Una opción más elegante de calcular φ es aplicando directamente la definición (φ = a/b) y modificar la ecuación inicial para sustituir directamente a/b:
Resolviendo esa ecuación nos dará directamente el valor de φ (sus valores: positivo y negativo).
Fíjate que en ningún momento he hablado de segmentos o nada que tenga que ver con geometría.
Una proporción es una relación, es una abstracción, nos da igual si las cantidades que intervienen son físicas, nos da igual si hablamos de proporciones al mezclar pinturas o una receta de cocina o cualquier otra cosa.
La definición de φ es autocontenida o recurrente (el elemento que definimos aparece en la propia definición)
Esto da lugar a un montón de propiedades matemáticas curiosas.
Pero no dejan de ser curiosidadades.
Las matemáticas y las propiedades asociadas a φ se podrían considerar avanzadas en la antigua Grecia y en la Edad Media.
El número φ no tiene ninguna relevancia significativa en las matemáticas actuales.
Un resumen muy resumido de la parte matemática sobre φ:
- La proporción áurea y el número dorado (φ) son interesantes desde el punto de vista matemático.
- El número φ es irracional, no se puede expresar como fracción de enteros.
- El número φ está presente en la relación entre el lado de un pentágono regular y su diagonal.
- El número φ está relacionado con la raíz de 5 (otro número irracional). La raíz de 5 forma parte de la definición de φ.
- El número φ es el más irracional de los números irracionales: se aproxima muy mal mediante un racional ( mira este vídeo de Numberphile para entenderlo )
Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es una sucesión matemática con la forma:
1, 1, 2, 3, 5, 8….
Cada número de la sucesión (a partir del 1) se construye como la suma de los dos números anteriores.
La sucesión de Fibonacci aparece en algunos procesos naturales que tienen que ver con crecimiento y agregación.
¿Qué tiene que ver Fibonacci con el número dorado?
La sucesión de Fibonacci, la sucesión de Lucas y muchas otras sucesiones de números que se construyen a partir de la suma de los dos últimos términos están relacionadas con el número φ.
Esta relación deriva de la propia definición de dichas sucesiones: … a, b, (a+b) …
La razón entre dos términos consecutivos de estas sucesiones tiende al número φ ( Fibonacci and golden ratio )
Pero ten en cuenta que esa relación sólo se cumple de forma estricta en infinito.
La propia sucesión (cómo calcular cada término) se pueden expresar en función de φ.
Importante: Fibonacci no es proporción áurea. Fibonacci no es número dorado. La sucesión de Fibonacci no es una sucesión privilegiada, hay toda una familia de sucesiones con las mismas propiedades.
Esto lo comento porque muchas veces se hacen refritos con Fibonacci y el número dorado, como si fueran la misma cosa. Sobre todo cuando se intenta reforzar esa idea de ’la firma del Creador’
Hay procesos naturales en los que aparece la secuencia de Fibonacci. Hay procesos en los que aparece el número φ. Hay procesos en los que aparece raíz de 5.
El rectángulo dorado
Es todo aquel rectángulo en el que la proporción entre el lado mayor y el lado menor es el número φ.
Aparte de eso, no se me ocurre ninguna propiedad matemática interesante del rectángulo dorado, ni aparece en la naturaleza (excepto si forzamos las cosas por su relación con φ)
Es un rectángulo como cualquier otro.
La espiral dorada
Antes de hablar de la espiral dorada vamos a ver qué es una espiral logarítmica.
La espiral logarítmica tiene una definición matemática concreta.
Hay otras formas equivalentes, podríamos haber utilizado otra base por ejemplo. Todas son equivalentes y utilizando el número e nos va a resultar más sencillo.
La ecuación está en coordenadas polares (en lugar de usar x,y usamos el radio y el ángulo, y podemos pasar de unas coordenadas a otras según nos interese).
La ecuación de la espiral logarítmica nos dice que la distancia de cada punto al centro (es decir, el radio r) crece de forma exponencial en función del ángulo β.
El ángulo β es continuo (no es discreto, no va a saltos) y va de menos infinito o a infinito, es decir, si empezamos en cero y llegamos a 360, seguimos incrementando: 361, 362…. 3897… Podemos completar todas las vueltas que queramos.
Y lo mismo hacia menos infinito, ángulos negativos, que corresponden a girar en el sentido contrario, cerrando la espiral.
La a es simplemente una constante de escala.
Y la constante k nos da idea del factor de crecimiento, de cómo se expande hacia el exterior o se aleja del centro por cada vuelta que completamos.
Se llama logarítmica porque podemos pasar de exponencial a logarítmica según nos interese, aplicando las propiedades de los logaritmos.
Las espirales logarítmicas son autosimilares, es decir, dada una espiral logarítmica da igual si hacemos zoom para ver el detalle o nos alejamos para verla desde cualquier distancia: siempre veremos la misma forma, con las mismas proporciones.
Y no tiene punto de origen. Si hacemos β negativo (giramos en sentido contrario) iremos cerrando cada vez más la espiral, pero no llegaremos nunca a un punto de origen (llegaremos en el límite, cuando hayamos dado infinitas vueltas)
Las espirales logarítmicas tienen otras propiedades geométricas interesantes, que tienen que ver con la relación entre giro y crecimiento.
Digamos que algunas de sus propiedades son invariantes (son equiangulares por ejemplo) y las invarianzas geométricas en física a veces tienen relación con principios de conservación: conservación de energía, momento, etc.
Esto lo comento porque la espiral logarítmica aparece (en primera aproximación) al modelar algunos fenómenos naturales.
Espiral dorada (matemática)
La espiral dorada (es decir, la espiral dorada logarítmica o la espiral logarítmica dorada) es un caso particular de espiral logarítmica.
En lenguaje matemático / científico un caso particular o un caso especial significa que es un caso concreto, de muchos, no que sea especial en el sentido de privilegiada, mágica o similar.
De todas las espirales logarítmicas que podamos imaginar (infinitas), la espiral dorada, la que está basada en φ, es sólo una más.
Tiene una definición concreta: por cada cuarto de vuelta (90º) crece una proporción igual a φ
A partir de esa condición podemos deducir su ecuación.
Como a es un factor de escala, vamos a elegir a=1 para simplificar.
Mira en la figura de más abajo para tener una referencia visual (no tengas en cuenta el valor de escala, la espiral que aparece representada está escalada con un valor de a distinto de 1, es simplemente para tener una referencia de sus proporciones).
Cuando el ángulo es cero, que sería nuestro punto de partida, nos queda un número elevado a cero, que es 1, por lo tanto: r = 1
Si damos un cuarto de vuelta (90 grados) el valor tiene que ser r=φ por nuestra definición de crecimiento para la espiral dorada, es decir, para ese ángulo se tiene que cumplir la proporción: r(90) / r(0) = φ / 1 = φ
¿Qué valor de k cumple ese requisito?
Si expresamos el ángulo en grados, k es aproximadamente 0.005, y la ecuación de la espiral dorada nos quedaría como indica la figura (con el factor de escala correspondiente)
Esto lo puedes comprobar en casa sin ningún problema, porque es aplicar logaritmos, despejar k y usar una calculadora para calcular el logaritmo natural de 1.618
Si expresamos el ángulo en radianes, entonces k es aproximadamente 0.31
Fíjate que la espiral dorada, por su definición (el factor de crecimiento que hemos impuesto), tiene que encajar perfectamente en un rectángulo dorado. El factor de escala da igual, lo importante es el factor de crecimiento.
Aparte de eso, la espiral dorada no tiene nada de especial, ni es una espiral privilegida en ningún sentido.
Espiral de Durero o de Fibonacci
La espiral dorada que se dibuja con regla y compás es sólo una aproximación de la espiral dorada logarítmica.
La espiral logarítmica no se puede dibujar con arcos de circunferencia (usando compás).
Para construir estas espirales en dibujo hay varias técnicas.
Por ejemplo la técnica de trazado que desarrolló Durero, dividiendo el rectángulo dorado siguiendo una especie de receta fractal.
O la conocida como espiral de Fibonacci, a partir de cuadrados cuyo lado crece según la secuencia de Fibonacci.
Las espirales de Fibonacci o de Durero no son espirales doradas.
La espiral dorada es una espiral logarítmica, que sigue una curva definida por su ecuación matemática (con el factor de crecimiento adecuado)
Las espirales dibujadas con compás son arcos de circunferencia unidos entre sí para formar una secuencia.
A modo de resumen:
- La espiral dibujada con compás sobre un rectángulo dorado es una aproximación de la espiral dorada logarítmica.
- La espiral dorada es sólo una más, de las infinitas variantes de espirales logarítmicas.
- Las espirales logarítmicas modelan o aproximan (al menos a primer orden) algunos fenómenos de la naturaleza.
- La espiral dorada no aparece en la naturaleza de forma significativa (puede aparecer por estadística, por tratarse de una espiral logarítmica)
El número φ en la naturaleza
Ya que tenemos las definiciones de proporción áurea, número dorado, rectángulo dorado y espiral dorada, vamos a ver por qué algunos de estos conceptos aparecen en la naturaleza.
Todos los fenómenos naturales tienden hacia una serie de estados estables o de equilibrio, por ejemplo estados de mínima energía.
La naturaleza no entiende de matemáticas, pero en esos estados de equilibrio se ha llegado a algún tipo de optimización, a un máximo o un mínimo de alguna cierta magnitud física.
Cuando pasamos a la biología: la evolución también tiende a optimizar ‘cosas’.
Esa optimización, a base de prueba y error por decirlo de alguna forma (variabilidad genética + selección natural), tiene que ver con las opciones de supervivencia de cada especie.
Por ejemplo, las abejas construyen sus panales con celdas hexagonales.
Esa estructura minimiza el gasto en material (paredes) y maximiza el volumen de almacenamiento.
Ni la naturaleza ni las abejas saben matemáticas, pero las especies de abejas que llegaron evolutivamente a esa estructura tenían una pequeña ventaja con respecto a otras especies que necesitaban un gasto energético mayor y una estructura más grande en sus panales para obtener los mismos resultados.
¿Son las celdas de los panales hexágonos perfectos?
No. Puedes mirar un panal con lupa o buscar una foto de alta resolución y ampliarla.
Hay una variabilidad entre celda y celda. Ninguna de ellas es un hexágono geométrico perfecto.
Si nos fijamos bien vemos que las paredes no son perfectamente rectas, etc.
A las abejas, como especie, no les hace falta ese nivel de precisión, porque la precisión en ese caso no aporta una ventaja evolutiva. La forma aproximada (hexagonal) sí aportó una ventaja evolutiva.
¿Aparece el número φ en la naturaleza?
Siendo estrictos: no.
Igual que no aparecen hexágonos perfectos en los panales de las abejas, ni aparecen círculos perfectos, ni aparece ninguna figura geométrica regular perfecta.
Pero si no llegamos a esos extremos de precisión, efectivamente el número φ aparece en algunos procesos naturales.
El hecho de que aparezca φ, o que aparezca ‘pi’, o ’e’ (el número de Euler), o cualquier otra constante que se nos ocurra… no es nada mágico.
Esas constantes aparecen porque usamos un modelo matemático concreto para describir esa situación o proceso.
Cada modelo es válido hasta una cierta precisión, tiene un ámbito de aplicación.
El número φ aparece porque es un número muy irracional, y tiene que ver con estrategias de optimización que se basan en que no haya repetición o solapamiento (lo vemos un poco más abajo).
Número dorado, Fibonacci y espirales
En el refrito pseudocientífico relacionado con el número dorado se suelen mezclar todos estos conceptos.
Da igual si aparece Fibonacci, o aparece una espiral cualquiera… todo es φ, todo apunta a la ‘firma del Creador’.
Si quitamos la mística y nos quedamos con la realidad científica…
En algunos procesos aparecen características relacionadas con φ, y la causa última son las propiedades de φ como número irracional.
Comprendiendo qué tiene φ de especial (difícil de aproximar con un racional, mira el vídeo de Numberphile que comento más abajo) se puede entender por qué surgen en la naturaleza estructuras con ángulos o proporciones relacionadas con φ.
En otros procesos, por ejemplo de agregación o crecimiento de poblaciones, aparecen secuencias como las de Fibonacci.
Es decir, en esos casos, Fibonacci es la secuencia óptima que sigue el proceso, por la propia estructura de la secuencia, no porque esté relacionada con φ.
Lo mismo ocurre cuando vemos plantas o animales con geometrías pentagonales.
El pentágono regular tiene relación con la raíz de 5, y la raíz de 5 con φ, pero no quiere decir que esos seres vivos tengan esa forma debido a las propiedades de φ.
La confusión con las espirales daría para escribir un libro.
Cualquier cosa de la naturaleza que tenga forma espiral se toma como ejemplo de espiral dorada y por lo tanto del número φ… y de vuelta al relato de la firma del Creador.
En la naturaleza aparecen diferentes tipos de espirales.
Si hay crecimiento y hay rotación, o crecimiento alrededor de un eje o procesos similares de expansión hacia el exterior… seguramente aparecerá algo parecido a una espiral o a una hélice.
La forma espiral es una consecuencia.
Creo que se puede entender fácilmente que si la espiral se va ‘construyendo’ como parte de un proceso, y los procesos son dinámicos y dependen de las condiciones de su entorno… es muy difícil que aparezcan en la naturaleza espirales perfectas.
A pesar de todo, algunas se pueden modelar como espirales geométricas (matemáticas) de algún tipo.
Algunas son espirales logarítmicas (muchas conchas de moluscos por ejemplo). Algunas se modelan como espirales de Fermat (distribución de semillas y pétalos en algunas plantas). No sé si habrá procesos que se puedan modelar como espirales hiperbólicas.
Pero la inmensa mayoría de las formas espirales que aparecen en la naturaleza no se pueden modelar como espirales simples, no son espirales ‘matemáticas’, no siguen una ecuación.
En los casos en los que se pueden modelar, el modelo matemático de la espiral suele ser sólo una aproximación a primer orden (de brocha gorda, por decirlo de alguna forma).
Las espirales logarítmicas que aparecen en la naturaleza: son eso, espirales logarítmicas, no son espirales doradas.
Imagino que por pura estadística, de todas esos casos modelados por espirales logarítmicas se podría encontrar alguno en el que coincida con una espiral dorada. Pero sería la excepción, no la norma.
Los nautilus, los brazos de algunas galaxias espirales, la forma de los huracanes… a veces, a veces, se pueden modelar en primera aproximación mediante alguna espiral logarítmica. Con el factor de crecimiento que corresponda en ese proceso (la k que aparecía en la definición de la espiral logarítmica).
Verdades y mitos del número dorado en la naturaleza
A modo de resumen, incluyo aquí algunos ejemplos en los que sí aparece φ de alguna forma más o menos directa y otros en los que no.
Dentro de los mitos, el catálogo es prácticamente infinito.
El teorema del punto gordo se aplica sin compasión.
De los mitos del número dorado en el arte hablaré en un capítulo específico más abajo.
Plantas
Aquí tienes un vídeo precioso de Numberphile sobre el número φ y la distribución de semillas en una flor.
Los procesos de crecimiento por agregación de algunas plantas están relacionados con el número φ, porque al ser muy irracional permite generar secuencias largas sin repetición o solapamiento (p.e. posición de las semillas en la flor de los girasoles o posición de las hojas en algunas plantas).
Dicho de otra forma, para que no suene tan creacionista: esas plantas han evolucionado siguiendo una estrategia de optimización concreta, esa estrategia funciona mejor si el factor de crecimiento o el posicionamiento al crecer usa de alguna forma un número irracional, para evitar solapamiento.
El número más irracional es φ. Por lo tanto es el mejor candidato para conseguir esa optimización en plantas que necesiten distribuir muchos elementos.
Esto es fascinante.
Es una de esas cosas que te vuela la cabeza cuando las ves por primera vez. Pero no hay magia, ni mística…
Estas estrategias o estrategias similares se ven en diferentes especies de plantas.
En algunos casos la distribución de hojas en el tallo o pétalos en algunas flores sigue una distribución basada en el ángulo áureo.
Algunos procesos naturales con crecimiento por agregación se pueden modelar (al menos a primer orden) con sucesiones como la de Fibonacci
Como Fibonacci y φ están relacionados, si el criterio de error es suficientemente flexible hay veces en la que podemos ver explicaciones relacionadas con φ o con Fibonacci indistintamente.
Pero recuerda que Fibonacci y φ sólo se aproximan cuando las secuencias son muy largas.
Los ejemplos típicos serían la distribución de semillas en los girasoles, la distribución de piñones en las piñas, la distribución de pétalos en algunas flores, la distribución de hojas en el tallo alrededor de su eje en algunas plantas…
Como esas distribuciones siguen una geometría de rotación (crecimiento a partir de un punto central) aparecen en algunos casos patrones con forma de espiral.
Por ejemplo en los girasoles o en las piñas se pueden ver fácilmente esos patrones.
Algunas de esas espirales se pueden modelar como espirales logarítmicas, otras como espirales de Fermat.
Un punto importante:
El relato místico del número áureo da a entender que prácticamente todo en la naturaleza está relacionado con φ.
En la naturaleza encontramos miles, millones, de estrategias evolutivas diferentes.
La mayoría de las plantas no siguen estrategias de crecimiento o formas que tengan relación con φ.
Plantas y animales con forma pentagonal
Cualquier cosa que tenga 5 elementos distribuidos de una forma más o menos regular (flores de 5 pétalos, etc.) tendrá una relación con φ de forma indirecta, porque la propia definición de φ está basada en la raíz de 5.
Pero eso no quiere decir que las propiedades de φ sean la causa de que esos seres tengan geometría pentagonal.
Conchas
Algunas conchas de moluscos siguen patrones de crecimiento que forman una especie de hélice que se expande como una espiral.
Estas espirales se pueden modelar en algunos casos como espirales logarítmicas.
Nautilus
Uno de los grandes mitos del imaginario del número dorado.
Hay bastantes especies de nautilus, cada una de ellas con morfología diferente.
Y dentro de cada especie hay una variabilidad.
En algunos casos las espirales de los nautilus se pueden modelar como espirales logarítmicas, no como espirales doradas.
Hasta donde yo sé ninguna de las especies de nautilus genera conchas que se puedan modelar con espirales doradas ( Nautilus Spirals and the Meta-Golden Ratio Chi )
Galaxias espirales
Con las galaxias espirales ocurre lo mismo.
Una galaxia espiral es un objeto difuso en sus bordes y además es una estructura dinámica.
La forma de los brazos de algunas galaxias espirales se pueden modelar en primera aproximación (y creo que con un margen de error significativo) como espirales logarítmicas.
Esas espirales no tienen nada que ver con φ.
El cuerpo humano
Las proporciones del cuerpo humano y de cualquier ser vivo tienen una gran variabilidad. No hay dos individuos iguales.
En concreto, los humanos somos una especie con una variabilidad muy grande.
Las proporciones de los brazos de los humanos o cualquier otra proporción con partes del cuerpo o de la cara, etc. Como regla general NO siguen la proporción áurea.
Podrás encontrar ejemplos de personas para los que se cumple. Y podrás encontrar ejemplos de personas para los que no se cumple.
Además, depende de la precisión de las medidas (de dónde a dónde medimos exactamente) y de lo permisivos que seamos a la hora de interpretar esas medidas (Teorema del punto gordo)
Por poner un ejemplo, las proporciones entre los huesos de los dedos de la mano, ¿qué longitud se toma como referencia?, ¿se utilizan todos los dedos para sacar una estadística?, ¿de las dos manos?
Algunas relaciones, como por ejemplo la altura total con respecto a la altura del ombligo pueden estar en un rango numérico de 1.5 a 1.7, dependiendo de cada individuo.
La cuestión es que en sistemas complejos (cuerpo humano, una composición artística compleja, animales, plantas, etc) siempre podremos encontrar relaciones entre elementos que cumplan cualquier proporción arbritraria que se nos ocurra.
La pregunta es: ¿el hecho de que dos partes del cuerpo tengan una proporción de 1.6 está causada de alguna manera por las propiedades de φ?
¿Es casualidad o hay causalidad?
Dicho de otra forma: ¿en la evolución de la especie humana y su forma actual intervino de alguna forma el número φ?
Belleza humana y el número dorado
Con respecto a las proporciones de la cara (ojos, nariz, boca, etc.) y la belleza de la persona…
Como especie, no hay correlación entre las proporciones de la cara (posición de los ojos, orejas, nariz, boca…) y la proporción áurea.
No hay absolutamente ninguna correlación entre la proporción áurea y la belleza o atractivo de la cara de una persona.
Cada cultura tiene sus propios cánones de belleza, que además cambian y evolucionan como modas a lo largo del tiempo.
Dentro de cada cultura, cada persona tiene sus propios criterios de belleza y gustos.
Y número φ sólo hay uno, no cambia para adaptarse a los cánones de belleza de turno.
Volvemos siempre a la misma falacia.
¿Por qué tendría que haber una relación entre la percepción de belleza y una proporción arbitraria?
Mitos y verdades de la proporción áurea en el arte
Cuando empecé a investigar sobre la proporción áurea en fotografía me chocaron sobre todo dos cosas: el tufillo a pensamiento mágico y que se da por hecho que la proporción áurea es el alma del arte clásico.
Pero cuando investigas un poco te das cuenta de que la proporción áurea tiene un uso muy residual en el arte.
Siempre aparecen los mismos ejemplos:
- El Partenón de Atenas (falso)
- Algunas pirámides de Egipto (falso)
- La Gioconda (falso), el Hombre de Vitruvio (falso) y otras obras de da Vinci (cuestionable)
- Obras de Rafael, Botticelli, Durero… (cuestionable)
- Algunas obras de Dalí (cierto)
- Algunas obras de Le Corbusier (cierto)
- El edificio de Naciones Unidas en Nueva York (falso)
Y para de contar.
Luego aparecen los típicos ejemplos con prácticamente cualquier obra pictórica clásica, en los que se intenta encontrar la proporción a toda costa, a base de trazar líneas y ángulos de forma arbitraria.
Es decir, siendo honestos y rigurosos, esa idea de que la proporción áurea está presente en el arte se diluye como un azucarillo en el café.
El Partenón es el ejemplo por excelencia de los mitos sobre la proporción dorada.
Primero se consideró que la fachada estaba trazada siguiendo esa proporción. Eso está más que refutado.
También que el ancho y el alto de algunas columnas se aproximaban a la proporción áurea.
De toda esa mística, en la actualidad creo que sólo ciertos adornos de las columnas siguen proporciones compatibles con la proporción áurea.
Es curioso, pero los mitos se caen en el momento en que se miden las cosas con precisión.
En la Gioconda, por mucha imaginación y por muchas líneas, rectángulos y espirales que pongamos encima: no está la proporción áurea.
O mejor dicho: claro que está, igual que está presente cualquier otra proporción que imaginemos.
Como en cualquier sistema complejo, sólo hay que elegir los elementos adecuados con los que comparar tamaños o distancias.
Elegir arbitrariamente de dónde a dónde medimos o qué comparamos y qué precisión utilizamos en la medida.
Pero hay que dar un salto de fe muy grande para creer que la esencia de la Gioconda o su belleza pueda estar relacionada con una proporción que está escondida o encriptada en el cuadro…
El Hombre de Vitruvio no está basado en la proporción áurea.
Está basado… [música de misterio y redoble de tambores]… en las proporciones definidas por Vitruvio (Marco Vitruvius Pollio, el arquitecto romano del siglo I antes de Cristo).
Nadie lo hubiera imaginado…
En la ‘receta’ de Vitruvio para el cuerpo humano (idealizado) se indican explícitamente las proporciones que hay que usar para modelar el cuerpo perfecto: 1/8, 1/6, 1/3, 1/4, 1/2, 1/10…
Y el propio Leonardo, en su versión, indica explícitamente las proporciones que utiliza , básicamente las mismas que Vitruvio, con pequeñas variaciones.
El propio autor (Leonardo) nos dice las proporciones que ha usado, todas ellas corresponden a números racionales sencillos.
Bueno, pues aunque parezca increíble, el Hombre de Vitruvio de Leonardo sigue formando parte del mito del número áureo.
Leonardo da Vinci hizo algunas ilustraciones para el libro De divina proporcione, de Luca Pacioli.
Conocía a Luca Pacioli, conocía la proporción áurea, y es muy posible que jugara con esa proporción en alguna de sus obras (por ejemplo algunos detalles en La última cena parecen usar esta proporción).
Pero la proporción áurea no define la obra de Leonardo, ni de lejos.
Lo mismo podríamos decir de Durero, que también estaba muy interesado en la parte matemática y geométrica.
Hasta donde llegan mis conocimientos, en la obra pictórica de Durero aparece la proporción áurea de forma muy marginal.
No he encontrado documentación fiable sobre la obra de Rafael o Botticelli con respecto a si usaron la proporción áurea de una forma consistente en sus trabajos o no, no sabría decir.
En El Nacimiento de Venus de Botticelli, las medidas del cuadro sí siguen la proporción áurea (aunque el resto de sus lienzos no siguen esta proporción), así que es probable que algunas de sus obras hagan uso de la proporción áurea.
Le Corbusier desarrolló un sistema de medidas (Modulor) para arquitectura, basado en las medidas de una persona media y con una escala basada en la proporción áurea.
No conozco mucho de la obra de Le Corbusier. No sé si el concepto de Modulor tuvo mucho recorrido y tampoco sé si realmente utilizó la proporción áurea explícitamente en muchos de sus proyectos.
Dalí sí tiene obras en las que usó explícitamente la proporción áurea, por ejemplo El sacramento de la Última Cena.
Pero, sinceramente, no considero que sea una de las obras más representativas del artista.
Y desde luego no es el culmen del Arte del ser humano. En esto creo que estaremos todos más o menos de acuerdo.
Mitos relacionados con el rectángulo dorado
¿Hay algún rectángulo con proporciones ideales o que resulte más atractivo?
No. Hay todo un rango de proporciones que percibimos como rectángulos normales.
Los rectángulos con relaciones de aspecto próximas a 1:1 los percibimos con una sensación de ambigüedad: ¿son cuadrados mal hechos o realmente son rectángulos?
Y los formatos muy alargados cada vez pierden más la interpretación de ‘rectángulo’ y se perciben más bien como ’tiras’ (rectángulos deformados, estirados).
Si pensamos en un rectángulo, vendrá a nuestra cabeza cualquiera con proporciones entre 1.3 y 2 por dar un rango de proporciones razonables.
Vamos a suponer por un momento que el rectángulo dorado es especial, más armonioso o bello.
Parece lógico pensar que la mayoría de los productos diseñados por el ser humano deberían tener esas proporciones, para resultar más atractivos (venderían más que la competencia y obtendríamos más placer al usarlos).
Bueno, pues por algún motivo inexplicable esto no se cumple.
A modo de reto o experimento: intenta localizar a tu alrededor rectángulos que tengan la proporción áurea (con un mínimo de precisión, claro)
Mi apuesta personal es que no vas a encontrar muchos.
Los soportes audiovisuales
Esto es algo que inmediatamente pasó por mi cabeza la primera vez que oí hablar de la proporción áurea y el rectángulo dorado.
¿Por qué los soportes audiovisuales no utilizan ni han utilizado la proporción áurea?
- 4:3 (TV, sensores de cámaras y móviles)
Proporción 1.33 - 3:2 (Película de 35mm, sensores de muchas cámaras)
Proporción 1.5 - 16:9 (TV, formato universal de vídeo)
Proporción 1.78 - 21:9 (Pantallas, formatos de vídeo)
Proporción 2.33
Los tamaños de las fotos en papel
Hasta donde yo sé, ninguno de los formatos típicos de impresión en papel es un rectángulo dorado.
Las proporciones más típicas son 3:2 y 4:3.
Los lienzos de pintura
Cuando estaba escribiendo este artículo me vino a la cabeza lo siguiente: quizás esos formatos vienen del mundo de la ingeniería, no del mundo del arte…
Ya sabemos cómo son los ingenieros… Con tal de fastidiar son capaces de cualquier cosa.
Primero pensé en hacer una estadística con las medidas de los cuadros más famosos, por ejemplo desde el Renacimiento.
De las listas de ‘pinturas famosas’ que estuve revisando, las proporciones que más se repetían están en el rango de 1.2 y 1.3
No encontré ningún patrón ni ninguna proporción preferente.
El único que encontré con la proporción áurea (172x278cm) es El Nacimiento de Venus, de Botticelli.
Me dije: bueno, Botticelli es nuestro hombre, el hombre áureo, a ver qué medidas tienen sus cuadros
Aquí tienes información sobre la obra de Botticelli con las medidas de cada pintura.
Nada, las proporciones de sus cuadros van desde 1:1 hasta 1:3 pasando por todos los valores intermedios.
En el caso de El Nacimiento de Venus parece demasiada casualidad, así que probablemente la proporción áurea sí está elegida ahí a propósito.
Mi conclusión sin mucho fundamento es que cada pintor elige las dimensiones a ojo, según el contenido o los criterios que considere oportunos. En general no parece haber ningún patrón. No aparecen proporciones privilegiadas.
Habría que hacer un estudio más serio, con más tiempo y con muchos más cuadros. No tengo tanto tiempo libre.
Si tienes interés, haz una lista con los cuadros que más te gustan y mira a ver qué proporciones aparecen y si encuentras algún patrón.
También busqué varios catálogos de lienzos de pintura (los bastidores prefabricados que venden en muchas tiendas de arte y manualidades) y me hice un pequeño histograma con sus proporciones:
Ninguno de los bastidores que encontré era un rectángulo dorado.
La proporción más cercana es 1.605, que corresponde a un bastidor de 130x81cm.
Pensarás: vale, pero eso es porque las medidas están en centímetros y hay un pequeño margen de error.
Sí, pero podrían fabricar perfectamente un bastidor de 130x80, que es una mejor aproximación a φ.
Es decir, no parece que los fabricantes de bastidores ni los artistas que los compran estén muy obsesionados con φ.
Las proporciones del orden de 1.3 y 1.5 son las más populares, y corresponden a los formatos 4:3 y 3:2.
Nota: Todo esto no prueba nada. Ni valida, ni refuta ninguna hipótesis. Yo pienso que la proporción áurea tiene un uso muy marginal en la pintura clásica, que esa ‘fama’ forma parte de la propia falacia y del mito. Y me parece curioso que no se suela usar el rectángulo dorado como soporte. Pero como digo, esto no es un estudio científico ni pretende serlo.
Las tarjetas de crédito
NO. Las tarjetas de crédito siguen una proporción: 1.586
Casi, pero no.
Y no es un error de medida o una aproximación.
Las medidas de las tarjetas se definen en el estándar ISO/IEC 7810
Este mito es quizás el más sangrante porque está muy extendido en la cultura popular y desmentirlo es muy sencillo, sólo hace falta una regla.
Los folios
Otro de los mitos que circulan por ahí.
La norma DIN utiliza la proporción basada en raíz de 2 (1.4142)
El folio americano tiene una proporción de 1.29
Mitos sobre la espiral dorada en el arte
Ya comenté algunos mitos sobre la espiral dorada en la naturaleza. Vamos ahora con el mundo del arte, sobre todo en diseño gráfico y fotografía, que son entornos que conozco un poco mejor.
En el imaginario colectivo hay una extraña asociación de ideas entre las espirales y la proporción áurea.
Y si buscas ‘proporción áurea’ en internet vas a encontrar espirales por todas partes, pero lo curioso es que la mayoría ni siquiera son espirales logarítmicas.
Y en muchos otros casos la espiral está pegada sobre una foto o sobre un cuadro, de forma arbitraria, para… no se sabe muy bien qué, la verdad.
Cuando se habla de la espiral dorada hay al menos dos variantes:
- A veces se habla de usar la espiral dorada como referencia para conseguir una determinada proporción (proporción áurea, se entiende, aunque a veces se toma el origen de la espiral como referencia)
- Otras veces se usa la espiral dorada, su forma, sus curvas, como guía para colocar los elementos de la escena en una composición.
En contraposición a esas prácticas (que forman parte de la mística del número dorado) estaría el hecho de fotografiar objetos físicos con forma espiral.
Proporciones
La espiral dorada tiene unas determinadas proporciones, una determinada relación de aspecto, por definición.
Tiene que estar inscrita en un rectángulo dorado.
Es decir, el rectángulo exterior en esa construcción tiene la relación de aspecto de la proporción áurea: φ:1 (o 1:φ en vertical)
La cuestión es que la espiral dorada NO encaja en ninguno de los soportes audiovisuales típicos: no encaja en 4:3, no encaja en 3:2, ni en 16:9 …
Son proporciones diferentes.
Habrás visto mil veces lo de poner una espiral en edición sobre una fotografía y redimensionar esa espiral (rompiendo sus proporciones) para que encaje en el tamaño y relación de aspecto de la imagen.
Y por supuesto aplastarla y retorcerla y girarla si hace falta para que case con algún elemento de la escena o de la imagen.
En algunos casos se utiliza el origen de la espiral como referencia…
Pero el punto de origen de la espiral no define la proporción áurea en ese rectángulo dorado que la inscribe.
Es un punto geométrico de la espiral. Se podría calcular qué proporción define con respecto a los bordes, pero no es la proporción áurea.
De alguna forma es como la homeopatía de la proporción áurea: en el origen de la espiral está tan diluida la magia de la proporción que aporta incluso más belleza.
La espiral como guía en composición
Hablamos de la espiral logarítmica dorada como guía o referencia en composición (para posicionar elementos de la escena en el encuadre)
Es decir, intentar que los elementos de la escena queden posicionados en el encuadre siguiendo de alguna forma las curvas de la espiral dorada.
O buscar una perspectiva tal que una curva de la escena coincida con un tramo de curva de la espiral dorada.
De todos los mitos y falacias en fotografía y diseño, usar una espiral como referencia en composición se lleva el primer premio, creo yo.
¿Qué sentido tiene?
Si la escena ya incluye una espiral: esa espiral va a ser un atractor visual y protagonista por sí mismo. Que sea espiral dorada o no es irrelevante. Comentaré más sobre esto un poco más abajo.
Si estamos forzando algún tipo de espiral en una escena que no tiene ninguna espiral… bueno, tiene su mérito, pero ¿para qué?.
¿Qué gana la composición con eso?
De todas formas, hay tantas variantes a la hora de aplicar la espiral dorada en composición como gurús. Cada uno tiene su propia receta.
En algunos casos se utiliza el punto de origen de la espiral como referencia para colocar un elemento, por ejemplo al protagonista de la escena.
Como si ese punto tuviera algo mágico o especial (ni siquiera corresponde con la proporción áurea).
En otros casos se usan varias espirales doradas (por ejemplo 4 para rellenar el encuadre) y se toman como referencia los puntos de origen o las intersecciones… (más de lo mismo)
En otros casos se busca que una curva de la escena coincida con una parte de la curva de la espiral dorada.
La cuestión es usar la espiral dorada, sea como sea, para que la composición reciba su dosis de belleza…
¿O se trata simplemente de postureo?.
No tengo pruebas, pero tampoco dudas, de que poquísimos fotógrafos usan ese tipo de guías en sus composiciones en sus proyectos reales, del día a día.
Pienso que es más bien el postureo de hablar de algo que parece muy profundo y que encaja con el imaginario colectivo.
Hablando de postureo…
También es muy curioso cuando alguien intenta justificar una composición a posteriori utilizando una espiral.
Fíjate en las imágenes de ejemplo que saqué de una búsqueda en internet (busca por ejemplo golden ratio photography o similar, en la búsqueda de imágenes), sobre todo las que tienen la espiral dibujada encima…
Dejando a un lado el pequeño detalle de que la espiral se coloca dentro del encuadre donde a cada uno le da la gana, o se escala o se recorta…
Cuando colocamos una espiral encima de cualquier imagen (de una foto por ejemplo o de un cuadro), la espiral pasa a formar parte de la imagen y se convierte en un atractor visual.
Lo mismo ocurre si colocamos una flecha o unas líneas o cualquier otro elemento externo, sobre todo si es una forma geométrica o tiene un patrón muy reconocible.
El cerebro buscará, e inventará si es necesario, patrones de reconocimiento que justifiquen la atención generada por esas señales.
Cuando alguien ve una espiral sobre una foto, a poco que le suene el relato de la proporción áurea hará la asociación de ideas de forma automática: espiral, proporción áurea, composición, belleza…
Es decir, el relato que forma parte del imaginario colectivo.
Esa asociación de ideas nunca aparecerá al ver la imagen desnuda, sin la guía, sin la espiral blanca.
Nadie (ni siquiera Luca Pacioli en persona) ve una foto o un cuadro y piensa: ahí detrás se esconde la espiral dorada, lo noto, lo percibo.
En fin. Cada uno que saque sus propias conclusiones.
No quiero perder tiempo con esto porque al final es una cuestión de fe.
El que crea que esto sirve para algo lo va a seguir creyendo.
La espiral como forma
La espiral es un atractor visual muy importante: es una estructura geométrica, relativamente compleja (y simple a la vez), una forma muy poco común en el entorno habitual…
Brad Hammonds , CC BY 2.0 , via Wikimedia Commons
Hablo de la espiral como forma, como elemento real de la escena.
Cualquier espiral, da igual si es logarítmica, de Arquímedes o de cualquier otro tipo: una escalera de caracol, un remolino del agua, una tela de araña, plantas que siguen esa estructura…
Lo dicho, cualquier espiral.
Visualmente suele ser un elemento muy atractivo (de atracción visual dentro de los mecanismos de atención del cerebro y de atracción desde un punto de vista estético).
La espiral, como forma, es atractiva.
La espiral dorada (matemática o la de Durero) es atractiva por ser espiral, no por estar relacionada con phi.
La espiral dorada, su forma, no tiene nada de especial desde un punto de vista estético. No podríamos diferenciarla de otras muchas espirales logarítmicas.
Si aparece una espiral en una composición, un objeto en espiral en el encuadre…
Ese objeto, esa forma, probablemente llamará la atención del observador y probablemente será un elemento atractivo (en el sentido de estéticamente atractivo)
Bibliografía y referencias
Es muy difícil encontrar información útil entre la enorme cantidad de basura pseudocientífica que rodea a la proporción áurea.
La inmensa mayoría de las fuentes relacionadas con el mundo del arte y de la fotografía están ‘contaminadas’ en mayor o menor medida, y cuentan diferentes variaciones del mismo relato místico.
Tampoco he encontrado muchas fuentes en castellano, lo siento. Si alguien conoce algunas fuentes estaría muy agradecido si me las pasara (sobre todo fuentes académicas)
Sobre la supuesta ‘belleza’ del rectángulo áureo (con respecto a rectángulos de otras proporciones), puedes echar un vistazo a este artículo de Christopher Green (Doctor en Psicología de la Universidad de Toronto), que llega a la conclusión de que si realmente hay una preferencia estética por la proporción áurea (rectángulo dorado), es tan poco significativa y habría tanta variabilidad que no se podría considerar como un factor importante.
Mario Livio (astrofísico) también estudió la proporción áurea y el número Phi. Su relación con la naturaleza y su relación con el arte y la percepción. Puedes leer su libro: La Proporción Áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo.
El vídeo de Numberphile sobre la distribución de semillas en una flor. No dejes de verlo por favor, porque es muy ilustrativo de cómo la naturaleza llega a soluciones eficientes, sin necesidad de magia ni toque divino.
Keith Devlin - Stanford University. The Golden Ratio & Fibonacci Numbers: Fact versus Fiction (vídeo) y en este artículo comentando también algunos de estos mitos
George Markowsky - Kennesaw State University: Misconceptions about the Golden Ratio
Nautilus Spirals and the Meta-Golden Ratio Chi, Christopher Bartlett
Julia Calderone: The one formula that’s supposed to ‘prove beauty’ is fundamentally wrong
Chris Budd, Bath University (UK) - A lecture by Chris Budd, Gresham Professor of Geometry, Great Mathematical Myths
Francisco Aguilera G. - La Falacia de la Proporcion Áurea en el Diseño Gráfico